Um conto de muitas matemáticas

O que eu mais gosto nesta história são as conexões entre diferentes avanços científicos. A maioria eu já conhecia, mas não tinha ideia de que estivessem relacionados! A história começa em 1730, com a publicação do livro "Miscellanea Analytica", de Abraham de Moivre (1667-1754). Num apêndice um pouco obscuro, De Moivre se pergunta: o que podemos dizer sobre o número de caras quando lançamos uma moeda um número (N) grande de vezes? A expectativa é que dê N/2 caras, claro. Mas também não é surpresa se forem um pouco mais ou um pouco menos. Por outro lado, é improvável que o número de caras seja muito diferente de N/2. De Moivre achou o gráfico da probabilidade associada a cada resultado (porcentagem de caras) possível: é uma curva em forma de sino, alta perto da média N/2 e baixando bastante quando nos afastamos desse valor, para mais ou para menos. Contei aqui na semana passada que para esse raciocínio ele precisou descobrir uma fórmula para o fatorial N! de um número inteiro N, e expliquei por que essa fórmula acabou entrando para a história com o nome do colega James Stirling (1692-1770). Não foi a única perda para De Moivre. Trabalhos de Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), em 1778, e Carl Friedrich Gauss (1777-1855), em 1809, mostraram que, na verdade, a curva em forma de sino ocorre em inúmeras situações em estatística, sempre que lidamos com dados independentes. Resultado: essa curva acabou ficando conhecida como "distribuição de Gauss". A motivação de Gauss para estudar essas questões me surpreendeu. Por volta de 1800, fora formado um grupo de 24 astrônomos experientes para encontrar um planeta desconhecido que se acreditava existir entre Marte e Júpiter. Eles ficaram conhecidos como "Polícia Celestial" e, no início de 1801, conseguiram identificar um novo astro nessa região. Ele foi chamado Ceres e atualmente é considerado um planeta-anão. Mas, após várias observações, a Polícia Celestial "perdeu" Ceres durante uma passagem por trás do Sol. Foi aí que entrou Gauss: ele desenvolveu uma nova abordagem de cálculo, muito eficiente, e a usou para redescobrir a posição exata de Ceres no céu, com sucesso. Um ingrediente crucial da abordagem era o chamado método dos mínimos quadrados, que permite substituir dados experimentais (no caso, dados astronômicos) complexos por fórmulas simples e que hoje é uma ferramenta fundamental de qualquer análise numérica. Foi para embasar esse método que Gauss precisou desenvolver a teoria da distribuição gaussiana (talvez independentemente de De Moivre e de Laplace). Mas o artigo dele só foi publicado em 1809, conforme mencionei. Ora, o método dos mínimos quadrados já tinha sido publicado, em 1805, por André-Marie Legendre (1752-1833), que não sabia do trabalho de Gauss. A motivação, nesse caso, era o cálculo das órbitas de cometas. Gauss é um dos maiores matemáticos de todos os tempos e, convenhamos, pegou uma carona legal na descoberta do De Moivre. Poderíamos esperar que fosse generoso na questão do método dos mínimos quadrados. Pelo contrário, ele foi intransigente na defesa da sua prioridade, insistindo que já tinha usado o método dez anos antes da publicação de Legendre. O resultado foi uma polêmica amarga que só o tempo, o pacificador definitivo, conseguiu resolver.